一开始莱纳说的改良法术模型的话语又再度浮现在她们的心头，两位女士怀揣着好奇的心态看着莱纳，不知道他究竟要从哪里开始改良。

可没想到莱纳却没有在法术模型上继续动笔，而是在旁边，用白色的粉笔点下一个点。

“我们新建立一个坐标系。”

莱纳划出一条笔直的水平线，将原点定为o，横轴定为r，当然这并非英文字符，而是通用语的两个字母。

但接下来，克莱尔意料之中的纵轴却没有出现，仿佛莱纳的坐标轴就到此为止了。

“咦？”

就在两人疑惑之时，莱纳从原点延伸出了一条线段，然后标注了一下这条线与横轴的夹角，定为θ，将线段的另一端的点定为a。

“过去，直角坐标系可以用两个数值来确定平面上的一点，比如这个点，如果在直角坐标系上，就应该是a（x，y），假设x和y都是1，那么a应该就是（1，1）。”

莱纳说着，然后话锋一转。

“但如果我不用x和y，转而使用a点与原点的连线同横坐标轴的夹角θ与单位长度r来表示这个点，会得到什么结果呢。”

给了两人一些思考的时间，莱纳才在黑板上继续写上。

a（r*cosθ，r*sinθ）。

这个有些特别的表述方式令丹娜有些晕，不过三角函数算是构筑魔法的基础，在魔法中，角度的计算也要更加方便，所以她很快也就理解了。

“这个是我引入的新的坐标表述方法，可以称其为极坐标。”

说完，莱纳在旁边建立了一个正常的直角坐标系，画了一条过原点的开口向上的抛物线。

“倘若我们想描述这个曲线的函数方程，应该是什么，丹娜？”

他提问道，令丹娜猝不及防。

不过好在这比较简单，丹娜很快就给出了答案。

“呃，y=x^2？”

“准确来说，应该是y=2p*x^2，在这个函数方程中，由于涉及到平方的操作，所以比一般的直线方程要更加复杂，如果曲线的位置有所变化，比如不在原点的话，那么就会更加麻烦。”

莱纳说着，又继续在黑板上书写。

“接下来我们可以建立两个等式：y=r*sinθ，x=r*cosθ，将其代入原本的方程，消去简化之后就能得到一个方程，r=tanθ2p*cosθ。”

克莱尔点了点头，但这个函数方程看起来似乎更加复杂了，她不明白莱纳为何要用这种麻烦的方式来记录曲线的轨迹。

“当然，这是非常复杂的方式，但如果我们稍微改变一下定义，r是抛物线上的点与焦点的距离，θ确定为抛物线上的点与焦点连线同纵轴正方向的夹角呢？”

莱纳的提问让克莱尔与丹娜愣住了。